Donghee

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보민이가 요즘 푸는 문제 하나만 알려줄래? 그럼 내가 한번 풀어볼게. --JuNe
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 - [부분집합개수]

 - 70 명의 학생에게 영어, 수학 시험을 실시한 결과 영어 성적이 70점 이상인 학생이 34명, 수학 성적이 70 점 이상인 학생이 27 명이고, 영어, 수학 모두 70 점 미만인 학생은 25명 이었다.
  - 영어, 수학 모두 70점 이상인 학생수를 구하여라.
  - 영어만 70 점 이상인 학생수를 구하여라.
  - 수학만 70점 이상인 학생수를 구하여라.
  '' 보민이가 이 문제를 풀때, 빨리 풀어야 한다고 문제를 정리하지 않고 그냥 머리로 풀었어요. 이런 문제는 복잡해지면 자신이 안생긴다고 하더군요.''
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==== 8월 30일 ====
'''문제카드'''
 가방 속에 있는 큰 인덱스 카드를 보미에게 주었다. 보미에게 인덱스 카드에 틀린 문제 적어 놓고, 비슷한 문제가 나오거나 또 틀리면, 인덱스 카드를 찾아 보라고 할려고 한다. 보미에게 틀린 문제 다시 보는 습관을 기르는 도구이다. 

==== 8월 28일 ====
'''단순한 습관'''

기천의 육합이나 단배공처럼 간단하지만 큰 효과를 지니는 습관이 뭐가 있을까? 
==== 8월 24일 ====

==== 8월 22일 ====
'''과외 한달'''

으흠 ;;
==== 8월 19일 ====
쉰다.
==== 8월 17일 ====

==== 8월 15일 ====
요즘 보미와 이야기 나눠보면, 보미의 관심사항은 대중문화이다. 공부 내용으로 화제가 집중 되지 않는다.(공부 내용에 놀라워 하지 않는다. -_-; 가끔 나의 선물에 놀라워 하긴 하지만) 그래서 공부시간에 주변을 겉돈다. 내가 보미에게 무엇을 해줄 수 있을까?

'''조건 형성(환경 만들기)에 대한 생각의 조각'''
  * 보미가 자발적인 동기가 생길려면, 내가 무엇을 할 수 있을까? 오늘은 기천 사부님에게 이 문제로 이야기 했다. 사부님은 다른 무엇보다 너가 할 수 있는 일은  '조건 형성' 해주는것이라고 했다.  동기와  '내공'은 같이 생기는데, 그때 까지는 '조건 형성(기천에서는 기본 몸 만들기)'를 해주라는 것이다. 그래야, 더 발전된 것(복잡한 문제풀이)을 자연 스럽게 받아 들일 수 있는 것이라고 했다.
  * 우리가 접하는 대중문화는 세상을 단순하게 보도록 하고, 우리의 세상에 대한 호기심을 다른것 으로(일률적이고, 자극적이고, 나와 멀리 있는것) 돌려놓는다. 이런 환경에서 아이들에게 공부(세상을 이해하고 세상을 다르게 보는)하라는 것은, 아이들에게 주는 '벌' 이라고 생각을 한다. 
  * 비고스키의 지지대(스캣폴딩), 앨런케이의 스퀵, 세이무어페퍼트의  로고, 몬테소리의 교구, 이 모두가 '세상을 다르게 이해'하는 조건 형성 이다.  난 이들에게서 배운것을 보미에게 어떻게 전할 수 있을까? 

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'''조건형성의 실천사례'''
  * 내가 좋아하는 것을 찾아 즐긴다 : 만화가 이우일씨는 집에서 TV에 방송이 연결 안되어 있다고 한다. 대신 직접 선택할 수 있는(좀더 인터렉티브한) DVD를 즐긴다고 한다.
  * 책상에 1시간 앉기 : 공부하라고 하지 않는다. 대신 책상에서 1시간을 앉아서 논다. 책상에 1시간 앉는 것은 공부하는 몸을 만들어 준다.
  * 좋은 의자: 책상을 앉게 하는 조건형성을 해준다.
  * EIDF 국제다큐멘터리 페스티벌  TV와 인간2-- TV와 인간이 헤어질 때 : TV를 보지 않는다. 가족과 대화를 나눌수 있다. 내가 중요하다고 생각하는 것을 하게 된다.
  * 동거하는 사람과 외식하기(또는 여행, 산행, 운동, 공부) : 동거하는 사람과 일상 이야기를 하게 된다. 대화하는데 술이 조건 형성의 전부는 아니다. 
  * 과자 먹지 않기 : 아이에게 밥 안먹는다고 과자 먹이는 부모는 밥 못먹게 하는 조건 형성을 해주는 것이다.
  * 글쓰기, 일지쓰기 :  생각을 정리하는데 조건형성을 해준다.
  * 연구실 문앞의 회의 테이블 : 연구실 문앞에 있는 회의 테이블은 자연 스럽게 사람들이 모여서 이야기 나누도록 조건을 형성한다. 그런데 이번에 이사 온 연구실에 회의 테이블이 없으니깐 서로 이야기 나누는 시간이 줄어 들었다.
  * 인터페이스와 관련된 모든것들 --어포던스

'''보미에게 해줄 수 있는 조건 형성'''
  * TV버리기 : 강한 조건 이지만, 넒게 봐서는 큰 효과가 있을듯 하다.
  * 개념을 조작하는 문제를 실제적인 오브젝트로 바꾸어 준다. (창준형이 이야기 해준 '수학을 배울때 기하를 먼저 배우는게 좋다'는 맥락에서..)

==== 8월 10일 ====
''' 다양한 문제풀이에 중 하나'''

보미가 문제를 풀다가 문제풀이 과정을 보면서 답답 해진 적이 있다. "저렇게 하는것 보다 이렇게 하는게 쉬운데..", "이 방법이 좀 어렵더라도 수가 커져도 풀 수 있는데.. 이 방법은 좋지 않은데.. " 이런 생각이 든다.그 동안은 왠만하면 스스로 더 나은 방법을 원할때 까지는 기다렸다.  그런데 오늘은 그 생각을 보미에게 이야기 했다. 말하고 뭔가 좀 찜찜했다. 보미는 이방법에 대해 수긍못하는 분위기이다.

왜 그럴까? 무엇인가 더 좋은 방편이 있다는 감이 오긴하는데, 생각이 정리가 안되서 였다.

예전에 구독했던 '수학사랑' 2003년 5/6호를 보다가 이와 비슷한 사례연구를 보게 되었다. 이 연구는 아동연구는 아니지만, 내가 오늘 겪었던것과 비슷했다. 남태평양 파푸아뉴기니에 사는 원주민 옥샙민 부족의 수체계에 대한 연구였다. 옥샘민 부족은 별도의 수언어는 없고, 신체를 직접 가리켜 27개를 셀수 있는 수체계를 사용한다. 이들은 무한 확장가능한 수체계가 없어서 산술연산에 제약이 많다. 이 연구는 옥샘민 부족의 산술 문제 해결전략에 서구식 교육과 전통적 수체계가 영향을 주는것은 무엇인지 알아 보았다. 이 연구에서 연구자는 서구식 교육이든 전통적인 수체계든 그들에게는 다양한 사고도구중 하나라는 결론을 내렸다.
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Ginsburg는 예를 들어 백화점에서 장난감을 구입하는 문제에 대한 아동의 반응이 순수하게 수학적인 것에 국한되지 않는다고 언급하였다. 그들이 속한 사정의 경제적 수준에 따라 그 문제는 단순한 수학문제이기도 하지만 경제적 환경이 열악한 가정의 어린이는 문제 맥락의 현실성 자체에 의문을 제기한다는 것이다. Ginsburg는 이와 같이 아동이 주어진 문제에 대해 가지는 해석과 태도의 차이가 문제해결의 성취에도 영향을 준다고 주장했다. 이는 현행 수학 교육과정에서 강조하는 '실제적인 문제'라는 것이 획일적으로 정의될 수 없으며 학습자의 문화적 배경과 경험에 밀접하게 관련되어 있다는 점에서 수학 교사에게 시사하는 바가 크다.
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옥샙민 부족의 아동이 그들의 전통적인 수체계를 더 효율적으로 활용하기 위해서 서구적 수체계에 관한 지식을 통해 전통적 수체계를 재구성했다는 것으로 해석 할 수 있다.
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한 아동의 문제 해결 전략과 수학적 발달은 그가 소속된 사회의 문화적 수체계, 그리고 학교 수학 양장에 연관되어 설명 되었다. 그 결과 우리는 학교 수학이 아동의 수학적 발달에 기여하는 바를 더 공정하게 평가 할 수 있었다. 실제로 과거이론은 학교 수학교육이 아동들에게 구체적인 경험의 색채를 배제한 형식적 사고 경험을 제공함으로써 아동의 수학적 발달을 촉진한다고 설명 하였다. 이는 달리말하면, 아동의 수학적 발달을 학교 수학교육에 국한 시키는 배타적 논법이기도 하다.
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민족지학적 관점에서는 우리가 흔히 말하듯, '''인간의 삶 자체가 학습이며 학교는 다양한 학습의 장 가운데 하나이다.''' 하나의 수학 학습의 장으로서 수학교실에서 아동은 그들의 수학적 발달로 이어진다. 이처럼 학교 수학교육을 통한 수학적 발달은 아동들이 경험하는 수학적 발달의 한측면이며 전체는 아니다.
 |}} -- 민족지학적 연구사례(1) Oksapmin 아동의 산술적 사고





==== 8월 8일 ====
'''정리와 실수'''

보민이가 문제를 풀때 암산을 많이 사용한다. 보민이 암산에는 실수가 많다. 나에게는 암산의 실수는 어쩔수 없는거니깐 괜찮다는 식으로 말하지만, 보민이에게 그 실수가 보이지 않게 부정적 영향을 끼치는듯 하다. 그래서 오늘은 '식의정리'와 '방정식'문제를 집중적으로 정리하는 연습을 했다. 그런데 정리 과정 중에도 중간 과정을 빼먹곤 하는데, 그것 때문에 실수를 계속하게 되었다. 보민이도 이제 충분히 정리의 중요성을 알게 되었다. 보민이가 문제풀이를 하면서 노트하는것을 지켜봐야겠다.

보미도 문제 풀때 정리하는 습관이 부족하다. 보미한테는 잘 정리 하라고, 필기도구를 선물했다. ㅎㅎ너무 좋아한다.

==== 8월 5일 ====
'''학생이 관심 있어하는것을 재료로 문제를 만들면 학습 효과가 있을까?'''
 문제를 바꾸어서 보미와 풀어본 결과, 기대와 다르게 효과가 없었다. 바꾼 문제들은 다음과 같다. 
 '''원래 문제'''
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우리반 학생 53명 중에서 사과를 좋아하는 학생이 29명, 귤을 좋아하는 학생이 26명이고, 사과와 귤을 모두 싫어하는 학생이 10명이다. 사과만 좋아하는 학생수를 구하여라.
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 '''바꾼 문제'''
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우리반 학생 53명중에서 동방신기를 좋아하는 학생이 29명, SS501을 좋아하는 학생이 26명이고, 동방신기와 SS501을 모두 싫어하는 학생이 10명이다. 동방신기만 좋아하는 학생수를 구하여라.
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이 문제는 보미가 만들었는데,  문제를 풀때  잠깐 흥미를 가지지만, 문제 해결 자체에는 크게 영향을 주지 않았다. 나의  '문제 표면의 재료를 바꾸어도, 조금은 나아질 꺼야!' 라는 생각은 참으로 순진한 생각이 었다. 보미는 이미 추상적인 생각을 할 나이인데, 이런 방식이 통할리가 없다.(보미는 단순히 동방신기를 좋아하는것보다 동방신기의 취미, 동방신기의  얼굴!, 동방신기와 다른 그룹간의 차이 이런 것에 관심이 있을 것이다.) 문제의 표면이 아니라 문제 구조를  흥미있게 바꾸어야 겠다. 아 ... 공부할께 많도다! 

인지심리 책에 보면, 사람들은 보통 수식으로 이루어진 베이지안 추론에 대해서 잘 이해 못하는데, 이해하기 쉬운 구조로 바꾸니깐 대부분 이해했다고 한다. 이 사례는 사람이 배우기 좋은 구조가 있다는 것을 보여준다. 아.. 인간의 정보처리 특징을 좀 공부 해봐야겟다.

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'''이해하기 쉬운구조에 대한 몇가지 아이디어'''
  * 이차방정식은 넓이의 문제로 환원해서 풀 수 있을것 같다.
  * 최대공약수의 문제를 벽면에 타일로 모자이크 만드는 문제로..  [[http://www.likejazz.com/29754.html|포스트잇으로 모자이크 만드는법]]

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브르너의 이해의 단계
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==== 8월 3일 ====
'''재밌게 공부하기.'''

보미와 웃으면서 수학공부(자연수의 소인수분해 부분) 했지만, 수업을 빨리 끝냈으면 하는 눈치이다. 내가 '오늘 재미없지? 빨리 끝낼까?' 했더니, '네!' 그러는 것이다. 처음에 보미와 재밌게 공부하기를 약속했는데, 2주만에 약속을 못지켜 버렸다.(내가 '약속을 못지켜서 미안해. 앞으로 잘할께' 라고 했더니, 원래 그런거라고, 격려해주었다. -_-;) 그래서 내가 보미에게 '그럼 재밌는것 없을까?' 그랬더니, 동화책 보는것이 재밌다고 했다. 마침 '이상한나라의 앨리스'를 봤다구 해서 다음에 같이 '이상한나라의 앨리스'를 보기로 했다. 그리고나서 문제풀이는 계속 됐다.

==== 8월 1일 ====
'''수학적 발견술의 문제: 교육자의 역량'''

수학적 발견술에서 교육자는 피교육자가 개념을 발견하는 기반을 닦아주고 개념으로 이끌어 준다. 문제는 피교육자가 개념을 귀납적으로 발견한다는것도, 교육자의 계획 아래 이루어 진다는 것이다. 피교육자의 학습이 교육자의 계획틀(관점)을 벗어나기 힘들게 된다. 순수한 발견과는 좀 거리가 있다. 
그럼, 대안은 무엇이 있을까?
교육자가 피교육자가 접하는 문제의 넒은 스펙트럼을 가지고 있어야 한다. 이것은 교육자의 역량의 문제이다.
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보미가 이번주 부터 '자연수' 단원을 나간다. '자연수' 단원에서 몇 문제를 풀고 나서 자연수의 성질과 표현하는 재료인 소수(prime number)에 대해서 이야기 해보았다. 자연수를 합축적으로 표현하는 방법(제곱수)과 자연수를 소수로 환원시켜 분석하는 이유를 이야기 해보았다. 그리고 그 자연수들간의 공통된 성질을 발견하는 방법에 대해서 이야기 했다. 앞으로 배울 구체적인 자연수 사이의 공통된 성질(공배수, 공약수)에 대해서는 나아가지 않았다.
 ''배울 순서를 꽤 맞추는게 상당히 어렵다.''
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'''문제풀이의 악 순환'''

보민이는 문제를 빠르게 풀어야 한다고 생각한다. 쉬운 문제든 어려운 문제든, 왜 그런지 이야기 해보니깐, 선생님이 그렇게 안하면 때린다고 한다.(-_-; 아 나의 어두운 과거가 생각난다. 이거 악순환이다. 바쁘면, 문제를 빨리 풀려고 하고, 빨리풀면, 제대로 과정을 못거쳐서 학습효과가 적어진다. 그러면 틀리게 되고, 그래서 선생님한테 얻어맞고, -_-; 다시 더 빠르게 풀어야 한다는 강박관념이 생긴다. 그러면 공부하기도 싫어지고 -_-;;;;)  그래서 지난주 금요일에는 한문제를 1시간 가까이 풀었다. 여러방향에서 생각해보고, 문제를 변형도 해보았다. 오늘은 비슷한 유형(집합의 원소개수를 구하는 문제였다.)을 찾게해서 그 유형의 문제만 풀었다.

이 방법이 보민이에게 효과가 있을지는 좀 더 지켜봐야겠다.

보민이는 문제를 빠르게 풀려고 하는데, 풀려지지 않으면, 과정(과정이 자의적이다 -_-;)이나 답을 데이터로 처럼 암기할려게 보인다. 뭐 이러한 성향은 지금 나에게도 있다.
==== 7월 28일 ====
'''문제집 풀이'''

과외시간에 거의 설명 없이 문제집만 풀고 있다. 중간중간 다른이야기(수학사나, 농담, 학교생활)를 하긴 하지만, 문제집 풀이 외에는 별 다른 준비를 하지 않고 있다. 이전에 여러가지 재밌는 것들을 찾아 볼려고 했지만, 보미나 보민이가 원하는것이 문제집풀이기 때문에, 큰흐름에서는 변하지 않을려고 한다. 그렇지만, 내가 의도대로 할 수 있는 일은 많다. 컴퓨터를 좋아하는 보민이가 도형을 공부할때쯤, 잠깐 Logo(듀카세 아저씨가만든 스퀵로봇을 써봐야겠다.)를 같이 해보는 괜찮을것 같고, 책을 좋아하는 보미와 책에 대해 같이 이야기 해보는것도 할 수 있다.   학산에 같이 등산도 갈 수 있겟구.. 

==== 7월 27일 ====
'''국어와 수학'''

보미는 언어에 대한 재능이 있다. 책을 좋아하고, 언어를 배우는것을 좋아한다. 수학 문제를 풀때,  말로 기술되어 있는것에는 자신감을 보이는데, 숫자로만 이루어진 문제에 대해서 그렇지 못한다. 그래서 문제를 숫자를 말로 바꾸어서 생각하게 도와주고 있다. 숫자도 언어인데, 보미가 숫자자체를 보통 언어로 볼 수 있게 하는데 도움을 주어야 겠다. 음음음

오늘은 질문 몇 마디 하고 왔다. ㅎㅎ 나일롱 과외샘~

'''오늘 수업에 관련해서 본 것들'''
  * 없다. 
==== 7월 25일 ====
'''수업진행'''

수업진행은 문제집에서 풀고 싶은 문제를 풀라고하고(규칙을 정해서 홀수든 3의배수든), 왜 그렇게 답을 구하는지 나를 가르쳐 보라고 한다. 아직 내가 선생님이라고 생각해서인지, 망설이는 모습이 보이긴 해도, 남을 가르치는것에 대해서 익숙해지는듯 하다.

교학상장(敎學相長)
 가르치는 과정이나 배우는것 모두 학습이 된다. 
 교학상장의 위력을 새삼 깨닳은것은 몇달전인데, 배우기만 하다보면, 참여하는 과정이 줄어든다. 그러면 피드백도 적어지고 ... 냠냠 긍정적 피드백 ToWriteLater

'''오늘 수업에 관련해서 본 것들'''
  * 
==== 7월 22일 ====
'''장점'''
보미와 보민이의 장점을 알고 있는것이 도움이 된다. 보미는 책보는것에 관심이 많고, 영어를 잘하고, 노래를  좋아해서 그와 관련된 이야기(공부하는 것과 겹치는)를 하면 수업에 적극적인 태도를 보인다. (보미가 천성이 착해서, 재미없는 내 말을 잘들어 주는것 같긴 하지만 ㅜ_ㅜ) 

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'''오늘 수업에 관련해서 본 것들'''
  * [수학적발견의논리]
==== 7월 20일 ====
보미와 보민이(오늘 부터 같이 공부하기로 했다.)의 어머님은 진도를 빨리 나갔으면 한다. 그런데 Teaching With Your Mouth Shut 방식으로는 진도를 빠르게 하기 어렵다. 처음에 진도가 늦더라도 나중에 탄력이 붙을것 같긴하다. 진도의 속도에 대해서는 좀더 지켜보자. 조정하자.

'''문제풀이와 자신감'''
 문제를 풀다 보면, 쉬운 문제와 어려운 문제를 같은 전략을 사용하여 풀다가 자신감을 잃는 경향이 있는듯 하다. 내 전략은 기본문제는 반복하여 풀고(같은 문제집을 세번 정도 풀려고 한다.), 어려운 문제는 시간을 아주~ 많은 여유를 주어서 스스로 생각하여 자신감을 얻는것 이다.

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'''오늘 수업에 관련해서 본 것들'''
  * 수학학습 - 지도 원리와 방법 8장 라키토스의 증명과 반박 방법
  * 

==== 7월 18일 ====
'''보미는 수학 문제에 대한 두려움을 가지고 있다. '''

오늘은 보미를 관찰 했다. 내가 문제에 대해서 직접적으로 도와주지 않아도 잘 풀었다. 문제의 답을 잘  마추어도 잘 모르겠다고 한다. 그래서 문제 푸는 과정에 대해서 나를 학생 이라고 생각하고 설명해 주라고 했다. 보미는 몇몇 정의와 개념에 대해서 분명하지 않았다. 집합에 개념에 대해서 내가 질문을 했고 그것들이 왜 필요한지 같이 생각 해보았다. 내 질문에 답하고 보미도 궁금했는지 책상에서 국어 사전을 가져와 찾아보았다. 보미는 이전에 수학시간에 사전을 찾아보거나 한적이 없었다고 한다. 
 ''책보다가 어려운 개념이 생기면 귀찮아서 사전을 찾지 않는데, 보미를 보고 자극을 받았다. 흐흐 보미한테 배운다. 교학상장''

보미가 문제 풀때 일련의 과정속에는 감정적인것이 많이 개입하는 것을 알게 되었다. 그래서 난 문제 풀때 그 감정적인 과정을 긍정적으로 바꿀려고 했다. 특히 두려움의 감정을 최소화 하는게 중요하다. 그래서 두려움의 크기를 더 잘게 나누도록 문제에 지지대(스캣폴딩)를 만들어 주었다. 보미도 지루해 하지 않고 즐거워 했다.

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'''오늘 수업에 관련해서 본 것들'''
  * 덩크수학 : 보미랑 푸는 문제집
  * 무한의신비 : 집합 부분
  * 무한론 교실 : 집합 부분
  * 수학의 언어 : 집합 부분
  * 수학학습 - 지도 원리와 방법 9장 폴리야의 문제핵ㄹ 교육론

==== 7월 10일 ====

인터뷰를 했다. 

같이 공부하는 친구의 이름은 서보미 이다. 오늘 인터뷰에서 보미가 두려워 하는 것, 잘 하는것에 들었다. 요즘 내가 두려움에 대한 생각이 이 친구와 함께 커나갈 수 있겟다는 생각이 들었다.